当夜幕降临，约翰再次进入梦境。他发现自己置身于一个由几何图形构成的宏伟宫殿，这里正是古代希腊的几何学竞技场。比赛的题目是关于“尺规作图”，这是古希腊数学家们热衷的问题。

约翰被告知需使用原始的几何工具，在限定时间内解决一系列复杂的几何问题。他的对手们都是历史上着名的数学家，如欧几里得和阿基米德。

**第三章：梦中的挑战**

首轮挑战要求每位参赛者构造一个完美的正十七边形。约翰运用他在现实世界学到的数学知识，巧妙地结合了角分线和高阶代数方程。他的操作引起了观众的惊叹，甚至连裁判欧几里得也不禁点头称赞。

接下来的挑战更加困难，需要解决与圆有关的三大难题：用尺规作图倍立方体、三等分任意角度和确定两个不同圆的方圆方程。约翰通过构建复杂的几何模型和利用现代的代数理论，创造性地解决了这些问题的解决方式。

最终的挑战是一场关于三维立体几何的对决。约翰需要在不使用任何现代工具的情况下，仅凭尺规和直尺构造出一个准确的二十面体模型。他凭借对几何直觉和空间想象力的深刻洞察，逐步构造出了精确的几何体。

**第四章：荣誉与觉醒**

经过激烈的比拼，约翰在各项挑战中都展现了超越时代的数学才能，最终赢得了比赛的冠军。醒来时，他发现自己依旧处在柏林的公寓中，手中紧握着笔和散乱的计算纸。

约翰意识到，这场清明梦不仅给了他一次奇妙的时空旅行体验，更让他在现实中对数学的理解更加深刻。他决定将梦中的解决方案和思考整理出来，发表成论文，分享给全世界的数学界。

约翰的论文引起了轰动，他关于古老几何问题的现代解法为数学界带来了新的启示，并启发了一代又一代的数学家去探索数学的美丽与奥秘。