这是非常复杂并且扯犊子一样烧脑子的证明过程

对于实数域内的任意分划A|A'，必有产生这样分划的实数B的存在这个B或是下组A内的最大值或是上组A'内的最小值，因为还没有证明无理数，所以只能先用有理数来进行证明。

将下组中的有理数重新标成A，将上组中的有理数重新标成A'，所以对于任意的有理数B只能在A和A'之中二选一的存在，对于A中的任意一个数字a一定小于A'中的a'。

接下来就开始进行假设所有满足不等式a=1的有理数归于A'。所以可以有最小值1在最小值1和a之间取的值都大于a，所以a中没有最大值

同样也可以证明满足不等式a==1可以得到a'中没有最小值

第三个假设a的平方2的一切有理数A'，可以在没有最大值在下组和没有最小值在上组的情况下成立，

这个可以用a+1/n来进行证明，没有最大的最小的有理数作为边界，所以第三个假设就出现了一个问题，没有边界怎么就能进行划分呢，但是2的开方又存在所以一定是存在一个数字的，但是这个数字不是有有理数规定，这样就证明了无理数的出现，有理数无理数的出现又一个数学分析的基本概念被建立起来了。

已经建立实数后稠密性也要进一步开始扩展数的范围，得扩展到实数领域，

接下来是大于小于等于的定义，是从个数到范围的变化，一开始只是a是A｜A'的划分的数便算作a>A中的一切有理数，到了实数的时候，则是有较大下组的分界数字的那个是大于的，可以包含较小下组的那个是较大数，因为之前分界数是无理数的时候这个说法无法使用，，所以只能在实数建立之后这样说

而稠密性只是在有理数，进一步则是在两个实数之间必定存在着有理数，，为啥说是更近一步呢，借用量子物理不可分割最小的普朗克的思路，之前的稠密性起码会有三个普朗克常量的数才能有稠密性的存在，而普朗克的段或者边界作为无理数，而用无理数作为边界的时候只需要一个普朗克常量的东西了，起码的利用率就翻了至少三倍，所以无论怎样的两个实数a，b之间恒有一个有理数的存在，这个说法成为更严格的稠密性的说法。